17322. При каком значении высоты AN
равнобедренный треугольник ABC
(AB=AC
) периметра 6 имеет наибольшую площадь?
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Пусть H
— середина основания BC
. Обозначим AB=AC=x
. По условию BC=6-2x
. По теореме Пифагора
AH=\sqrt{AB^{2}-\frac{1}{4}BC^{2}}=\sqrt{x^{2}-(3-x)^{2}}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{2x-3}.
Значит,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=(3-x)\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2x-3}=\sqrt{3}\cdot(3-x)\sqrt{2x-3}.
Рассмотрим функцию f(x)=(3-x)^{2}(2x-3)
на промежутке \frac{3}{2}\lt x\lt3
. По неравенству Коши (см. примечание к задаче 3399)
(3-x)^{2}(2x-3)^{2}\leqslant\frac{(3-x)+(3-x)+(2x-3)}{3}=\frac{3}{3}=1,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда 3-x=2x-3
, т. е. для x=2
. Поскольку это значение принадлежит рассматриваемому промежутку, функция f(x)
(а вместе с ней и площадь треугольника ABC
) принимает наибольшее значение.
При этом треугольник со сторонами AC=AB=x=2
и BC=6-2x=2
удовлетворяет условию задачи. Это равносторонний треугольник со стороной 2 и высотой \sqrt{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1987, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1987, с. 145, задача 3, вариант 2