17327. Около прямоугольного треугольника
ABC
с катетами
AC=4
,
BC=3
описана окружность. Точки
E
и
F
— середины меньших дуг
AC
и
BC
этой окружности,
M
и
K
— точки пересечения хорды
EF
с катетами
AC
и
BC
. Найдите
MK
.
Ответ.
\sqrt{2}
.
Решение. Пусть
O
— центр окружности радиуса
R
, описанной около прямоугольного треугольника
ABC
. Тогда
O
— середина гипотенузы
AB
. По теореме Пифагора находим, что
AB=5
, поэтому
R=\frac{5}{2}
.
Обозначим
\angle BAC=\alpha
и
\angle ABC=\beta
. Тогда
\alpha+\beta=90^{\circ}
. Точки
E
и
F
— середины дуг
AC
и
BC
, поэтому
OE
и
OF
— перпендикуляры к
AC
и
BC
соответственно. Тогда точки
P
и
Q
пересечения радиусов
OE
и
OF
с хордами
AC
и
BC
— середины
P
и
Q
катетов
AC
и
BC
— соответственно, а
OP
и
OQ
— средние линии треугольника
ABC
.
Поскольку
BE
— биссектриса вписанного угла
ABC
, центральный угол
AOE
вдвое больше вписанного угла
ABE
, равного
\frac{\beta}{2}
. Значит,
\smile AE=2\angle ABE=\beta
. Аналогично,
\smile CF=\alpha
. Тогда (см. задачу 26)
\angle CKM=\angle QKF=\frac{\smile AE+\smile CF}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.

Значит, прямоугольные треугольники
KQF
и
KCM
прямоугольные и равнобедренные. Тогда
QK=QF=OF-OQ=R-\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}-\frac{4}{2}=\frac{1}{2},

CK=CQ-QK=\frac{1}{2}BC-QK=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1.

Следовательно,
MK=CK\sqrt{2}=\sqrt{2}.

Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 1.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 149, задача 3, вариант 1.3