17327. Около прямоугольного треугольника ABC
с катетами AC=4
, BC=3
описана окружность. Точки E
и F
— середины меньших дуг AC
и BC
этой окружности, M
и K
— точки пересечения хорды EF
с катетами AC
и BC
. Найдите MK
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности радиуса R
, описанной около прямоугольного треугольника ABC
. Тогда O
— середина гипотенузы AB
. По теореме Пифагора находим, что AB=5
, поэтому R=\frac{5}{2}
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ABC=\beta
. Тогда \alpha+\beta=90^{\circ}
. Точки E
и F
— середины дуг AC
и BC
, поэтому OE
и OF
— перпендикуляры к AC
и BC
соответственно. Тогда точки P
и Q
пересечения радиусов OE
и OF
с хордами AC
и BC
— середины P
и Q
катетов AC
и BC
— соответственно, а OP
и OQ
— средние линии треугольника ABC
.
Поскольку BE
— биссектриса вписанного угла ABC
, центральный угол AOE
вдвое больше вписанного угла ABE
, равного \frac{\beta}{2}
. Значит, \smile AE=2\angle ABE=\beta
. Аналогично, \smile CF=\alpha
. Тогда (см. задачу 26)
\angle CKM=\angle QKF=\frac{\smile AE+\smile CF}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Значит, прямоугольные треугольники KQF
и KCM
прямоугольные и равнобедренные. Тогда
QK=QF=OF-OQ=R-\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}-\frac{4}{2}=\frac{1}{2},
CK=CQ-QK=\frac{1}{2}BC-QK=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1.
Следовательно,
MK=CK\sqrt{2}=\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 1.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 149, задача 3, вариант 1.3