17338. Две окружности касаются в точке A
. К окружностям проведена общая касательная l
, отрезок которой между точками касания равен 5. Известно, что расстояние от точки A
до касательной l
равно 2. Найдите радиусы данных окружностей.
Ответ. \sqrt{3}\pm1
.
Решение. Пусть r
и R
— радиусы данных окружностей (R\geqslant r
), B
и C
— точки касания окружностей с прямой l
, E
— проекция точки A
на прямую l
. Тогда 5=BC=2\sqrt{rR}
(см. задачу 365) и 2=AE=\frac{2rR}{r+R}
(см. задачу 376). Следовательно, r
и R
удовлетворяют системе
\syst{2\sqrt{rR}=5\\\frac{2rR}{r+R}=2\\R\geqslant r\\}~\Leftrightarrow~\syst{rR=\frac{25}{4}\\r+R=\frac{25}{4}\\R\geqslant r\\}~\Leftrightarrow~\syst{R=5\\r=\frac{5}{4}.\\}
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1990, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 155, задача 3, вариант 4