17343. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
биссектриса CL
равна 12. Найдите стороны треугольника, если известно, что AB\gt AC
и что прямая, параллельная CL
и делящая площадь треугольника пополам, пересекает его по отрезку, равному 3\sqrt{10}
.
Ответ. 10, 40, 40.
Решение. Обозначим AC=a
, AB=BC=b
, S
— площадь треугольника ABC
. Пусть прямая, о которой говорится в условии, пересекает стороны BC
и AB
в точках E
и F
соответственно.
По теореме о биссектрисе угла треугольника (см. задачу 1509)
\frac{S_{\triangle ACL}}{S_{\triangle BCL}}=\frac{a}{b}~\Rightarrow~S_{\triangle BCL}=\frac{Sb}{a+b}.
С другой стороны, треугольники BCL
и BEF
подобны, поэтому
\frac{S_{\triangle BCL}}{S_{\triangle BEF}}=\frac{CL^{2}}{EF^{2}}=\frac{144}{9\cdot10}=\frac{8}{5},
а так как по условию S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}
, то S_{\triangle BCL}=\frac{4}{5}S
. Из равенства \frac{4}{5}S=\frac{Sb}{a+b}
получаем, что b=4a
. Тогда
\cos\angle BAC=\frac{\frac{1}{2}AC}{AB}=\frac{\frac{1}{2}a}{4a}=\frac{1}{8}~\Rightarrow~AL=b\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{4a^{2}}{5a}=\frac{4}{5}a.
Значит, по теореме косинусов
CL^{2}=AC^{2}+AL^{2}-2AC\cdot AL\cos\angle BAC,~\mbox{или}~144=a^{2}+\frac{16}{25}a^{2}-2a\cdot\frac{4}{5}a\cdot\frac{1}{8}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~144=\frac{36}{25}a^{2}~\Leftrightarrow~a^{2}=100
Следовательно,
AC=a=10,~BC=AB=b=4a=40.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1992, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1992, с. 158, задача 3, вариант 1