17357. Через середину боковой стороны равнобедренного треугольника перпендикулярно этой стороне проводится прямая, которая пересекает вторую боковую сторону и делит треугольник на части, площади которых равны 30 и 66. Найдите боковую сторону треугольника.
Ответ. 8\sqrt{5}
.
Решение. Пусть ABC
— равнобедренный треугольник с основанием BC
, M
— середина боковой стороны AB
, N
— точка пересечения серединного перпендикуляра к боковой стороне AB
и боковой стороны AC
.
Заметим, что S_{\triangle AMN}=30
, так как если S_{\triangle AMN}=66
, то
S_{\triangle ANB}=2S_{\triangle AMN}=132\gt96=S_{\triangle ABC},
и тогда точка N
не лежит на отрезке AC
, что противоречит условию задачи.
Обозначим AM=MB=x
. Тогда
30=\frac{1}{2}x\cdot MN~\Rightarrow~MN=\frac{60}{x}.
В то же время (см. задачу 3007),
30=\frac{AN}{AC}\cdot\frac{AM}{AB}S_{\triangle ABC}=\frac{AN}{2x}\cdot\frac{1}{2}\cdot96=\frac{24AN}{x},
откуда AN=\frac{5}{4}x
. Тогда по теореме Пифагора
MN=\sqrt{AN^{2}-AM^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}x^{2}-x^{2}}=\frac{3x}{4}.
Из равенства \frac{60}{x}=\frac{3x}{4}
находим, что x=4\sqrt{5}
. Следовательно,
AC=AB=2x=8\sqrt{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1995, задача 4, вариант 1.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1995, с. 166, задача 4, вариант 1.3