17384. В прямоугольник со сторонами 6 и 8 вписан ромб площади 36, причём на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине ромба. Найдите диагонали ромба.
Ответ. 3\sqrt{6}
и 4\sqrt{6}
Решение. Обозначим диагонали AC
и BD
ромба ABCD
, вписанного в прямоугольник, равны соответственно x
и y
соответственно. Опустим из вершин A
и B
перпендикуляры AE
и BF
на стороны прямоугольника (см. рис.). Тогда эти перпендикуляры соответственно равны сторонам прямоугольника. Пусть AE=8
и BF=6
.
Стороны AC
и AE
угла CAE
соответственно перпендикулярны сторонам BD
и BF
угла DBF
(так как диагонали ромба перпендикулярны), поэтому прямоугольные треугольники ACE
и BDF
подобны. Их катеты AE
и BF
соответственно равны сторонам данного прямоугольника.
Тогда
\frac{x}{y}=\frac{AC}{BD}=\frac{AE}{BF}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}~\Rightarrow~x=\frac{4}{3}y,
а так как
S_{ABCD}=\frac{1}{2}xy=36~\Rightarrow~xy=72
(см. задачу 3018), то \frac{4}{3}y^{2}=72
. Следовательно, y=3\sqrt{6}
и x=4\sqrt{6}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1999, задача 3, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 185, задача 3, вариант 2.2