17385. В прямоугольник со сторонами 2 и 4 вписан ромб со стороной \sqrt{6}
таким образом, что на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине ромба. Найдите площадь ромба.
Ответ. \frac{24}{5}
.
Решение. Обозначим половины диагоналей AC
и BD
ромба ABCD
, вписанного в прямоугольник, через x
и y
соответственно x
и y
соответственно. Опустим из вершин A
и B
перпендикуляры AE
и BF
на стороны прямоугольника (см. рис.). Тогда эти перпендикуляры соответственно равны сторонам прямоугольника. Пусть AE=4
и BF=2
.
Стороны AC
и AE
угла CAE
соответственно перпендикулярны сторонами BD
и BF
угла DBF
(так как диагонали ромба перпендикулярны), поэтому прямоугольные треугольники ACE
и BDF
подобны. Их катеты AE
и BF
соответственно равны сторонам данного прямоугольника.
Тогда
\frac{x}{y}=\frac{AC}{BD}=\frac{AE}{BF}=\frac{4}{2}=2~\Rightarrow~x=2y,
причём по теореме Пифагора x^{2}+y^{2}=6
, то 5y^{2}=6
, поэтому y=\sqrt{\frac{6}{5}}
и x=2\sqrt{\frac{6}{5}}
. Следовательно (см. задачу 3018),
S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot2y=2xy=2\cdot2\sqrt{\frac{6}{5}}\cdot\sqrt{\frac{6}{5}}=4\cdot\frac{6}{5}=\frac{24}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1999, задача 3, вариант 2.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 185, задача 3, вариант 2.3