17389. В прямоугольном треугольнике ABC
с гипотенузой AB
точка M
делит катет BC
в отношении 2:1
, считая от вершины B
. Известно, что биссектриса BN
пересекает отрезок AM
в точке K
, причём AK=9
, KM=4
. Найдите стороны треугольника ABC
.
Ответ. \frac{117}{7}
, \frac{78}{7}
, \frac{39\sqrt{5}}{7}
.
Решение. По свойству биссектрисы AK
в треугольнике ABM
получаем
\frac{AB}{AM}=\frac{AK}{KM}=\frac{9}{4}.
(см. задачу 1509).
Положим AB=9x
, BM=4x
. Тогда
BC=6x,~AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{81x^{2}-36x^{2}}=x\sqrt{45}=3x\sqrt{5}.
По теореме Пифагора
13^{2}=AM^{2}=AC^{2}+CM^{2}=45x^{2}+4x^{2}=49x^{2}~\Rightarrow~x=\frac{13}{7}.
Следовательно,
AB=9x=\frac{117}{7},~BC=6x=\frac{78}{7},~AC=3x\sqrt{5}=\frac{39\sqrt{5}}{7}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2000, задача 3, вариант 1.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000, с. 187, задача 3, вариант 1.3