17399. В треугольнике ABC
проведена высота BH
, основание которой лежит на стороне AC
. Известно, что AH=4
, CH=1
и 2AB=3BC
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Ответ. \frac{\sqrt{11}}{1+\sqrt{3}}
.
Решение. Положим BC=2x
и AB=3x
. По теореме Пифагора
BC^{2}-CH^{2}=AB^{2}-AH^{2},~\mbox{или}~4x^{2}-1=9x^{2}-16~\Rightarrow~x=\sqrt{3}.
Значит,
BC=2x=2\sqrt{3},~AB=3x=3\sqrt{3},
BH^{2}=BC^{2}-CH^{2}=4x^{2}-1=12-1=11~\Rightarrow~BH=\sqrt{11}.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
, S
— площадь, r
— искомый радиус вписанной окружности. Тогда (см. задачу 452)
r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}AC\cdot BH}{\frac{AC+BC+AB}{2}}=\frac{AC\cdot BH}{AC+BC+AB}=\frac{5\cdot\sqrt{11}}{5+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{11}}{1+\sqrt{3}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2001, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001, с. 194, задача 3, вариант 2.1