17423. В прямоугольный треугольник ABC
вписан прямоугольник KLMN
, причём две его вершины M
и N
лежат на гипотенузе AC
, а вершины K
и L
— на катетах BC
и AB
. Известно, что точка M
лежит между точками A
и N
, AM=3
, NC=2
и площадь прямоугольника KLMN
равна 10\sqrt{6}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{45\sqrt{6}}{2}
.
Решение. Обозначим KL=MN=x
, LM=KN=y
. Тогда
S_{KLMN}=xy,~\angle ALM=90^{\circ}-\angle LAM=90^{\circ}-\angle BAC=\angle ACB.
Из подобия прямоугольных треугольников AML
и KNC
получаем
\frac{LM}{AM}=\frac{CN}{KN},~\mbox{или}~\frac{y}{3}=\frac{2}{y}~\Rightarrow~y=\sqrt{6}.
Тогда
KL=x=\frac{S_{KLMN}}{y}=\frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=10,
поэтому
AC=AM+MN+CN=3+10+2=15.
Пусть BP=h
— высота треугольника ABC
, а Q
— точка пересечения BP
и KL
. Тогда BQ=h-y
— высота треугольника LBK
, подобного треугольнику ABC
. Значит,
\frac{BQ}{BP}=\frac{KL}{AC},~\mbox{или}~\frac{h-y}{h}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3},
откуда находим, что BP=h=3\sqrt{6}
. Следовательно (см. задачу 1967),
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BP=\frac{1}{2}\cdot15\cdot3\sqrt{6}=\frac{45\sqrt{6}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2004, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 206, задача 3, вариант 1.1