17438. В параллелограмме ABCD
точка M
— середина стороны AB
. Известно, что биссектриса угла C
параллелограмма делит треугольник AMD
на две части равной площади. Найдите сторону AD
, если CD=4
.
Ответ. \sqrt{33}-1
Решение. Обозначим AD=BC=x
. Пусть биссектриса угла C
параллелограмма ABCD
пересекает сторону AD
в точке L
, отрезок DM
— в точке K
, а прямую AB
— в точке N
.
Поскольку
\angle CLD=\angle BCL=\angle DCL,
треугольник CDL
равнобедренный,
DL=CD=4~\Rightarrow~\frac{DL}{DA}=\frac{4}{x}.
Аналогично, треугольник ALN
равнобедренный,
NA=AL=x-4~\Rightarrow~NM=NA+AM=(x-4)+2=x-2.
Треугольник CKD
подобен треугольнику NKM
, поэтому
\frac{DK}{KM}=\frac{CD}{NM}=\frac{4}{x-2}~\Rightarrow~\frac{DK}{DM}=\frac{CD}{DK+DM}=\frac{4}{4+(x-2)}=\frac{4}{x+2}.
Следовательно (см. задачу 3007),
\frac{1}{2}=\frac{S_{\triangle DLK}}{S_{\triangle DAM}}=\frac{DL}{DA}\cdot\frac{DK}{DM}=\frac{4}{x}\cdot\frac{4}{x+2}=\frac{16}{x(x+2)}.
Из уравнения \frac{16}{x(x+2)}=\frac{1}{2}
находим, что AD=x=\sqrt{33}-1
.
Заметим, что AD=\sqrt{33}-1\gt4
, значит, точка L
лежит на стороне AD
, а не на её продолжении.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 217, задача 3, вариант 1