17440. В треугольнике ABC
точки M
и N
— середины сторон AB
и BC
соответственно. Точка L
лежит на отрезке AB
, причём отрезок CL
делит треугольник BMN
на две части равной площади. Найдите отношение отрезков AL
и BL
.
Ответ. \frac{5+\sqrt{17}}{2}
.
Решение. Через вершину B
проведём прямую l
, параллельную AC
. Пусть прямая CL
пересекает эту прямую в точке P
, а среднюю линию MN
треугольника ABC
— в точке Q
. Обозначим NQ=t
и \frac{ML}{BL}=x
. Тогда BP=2NQ=2t
, а из подобия треугольников MLQ
и BLP
получаем, что
MQ=BP\cdot\frac{ML}{LB}=2tx.
Значит,
\frac{MQ}{MN}=\frac{MQ}{MQ+NQ}=\frac{2tx}{2tx+t}=\frac{2x}{2x+1},
а так как
\frac{ML}{MB}=\frac{ML}{ML+BL}=\frac{x}{x+1},
то (см. задачу 1007)
\frac{1}{2}=\frac{S_{\triangle LMQ}}{S_{\triangle BMN}}=\frac{MQ}{MN}\cdot\frac{ML}{MB}=\frac{2x}{2x+1}\cdot\frac{x}{x+1}=\frac{2x^{2}}{2x^{2}+3x+1}.
Из этого уравнения находим x=\frac{3+\sqrt{17}}{4}
. Следовательно,
\frac{AL}{BL}=\frac{AM+ML}{BL}=\frac{BM+ML}{BL}=\frac{(BL+ML)+ML}{BL}=
=1+2\cdot\frac{ML}{BL}=1+\frac{3+\sqrt{17}}{2}=\frac{5+\sqrt{17}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 218, задача 3, вариант 3