17443. Один из углов треугольника равен 150^{\circ}
, радиус описанной около него окружности равен 6\sqrt{3}
, периметр треугольника равен 21. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.
Ответ. \frac{3}{2}(2-\sqrt{3})
.
Указание. Пусть ABC
— данный треугольник, угол A
равен 150^{\circ}
, M
— точка касания вписанной окружности со стороной AB
, r
— радиус этой окружности. Как и в задаче 17442, 21=2(BC+AM)
. BC
найдём по теореме синусов, а AM=r\ctg75^{\circ}
. Подставив значения BC
и AM
в предыдущее равенство, найдём r
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1989, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1989, с. 219, задача 3, вариант 2