17444. Один из углов треугольника равен 45^{\circ}
, радиус вписанной в него окружности равен 1, а площадь треугольника равна 18+\sqrt{2}
. Найти радиус описанной около него окружности.
Ответ. \frac{17}{2}
.
Указание. Пусть ABC
— данный треугольник, угол A
равен 45^{\circ}
, P
— периметр треугольника, M
— точка касания вписанной окружности со стороной AB
. Как и в задаче 17442е,
P=2(BC+AM)=2BC+2\ctg22{,}5^{\circ}=2BC+2(\sqrt{2}+1).
Зная радиус вписанной окружности и площадь треугольника, находим сначала P=36+2\sqrt{2}
, а затем BC
. Радиус описанной окружности вычисляется по теореме синусов.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1989, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1989, с. 219, задача 3, вариант 3