17449. В треугольнике ABC
сторона AB=15
, окружность, проходящая через вершину C
, касается стороны AB
в точке L
и пересекает стороны AC
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Найдите AC
и BC
, если известно, что AP=3
, BQ=2
и CL
— биссектриса угла C
.
Ответ. AC=27
, BC=18
Решение. Пусть AC=x
, BC=y
. По теореме о касательной и секущей,
AL=\sqrt{AC\cdot AP}=\sqrt{3x},~BL=\sqrt{BC\cdot BQ}=\sqrt{2y}.
С другой стороны, по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AL}{BL}=\frac{AC}{BC}=\frac{x}{y}.
Таким образом,
\frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{2y}}=\frac{x}{y}~\Rightarrow~\frac{3x}{2y}=\frac{x^{2}}{y^{2}}~\Rightarrow~\frac{AL}{BL}=\frac{x}{y}=\frac{3}{2}.
Значит,
AL=\frac{3}{5}AB=\frac{3}{5}\cdot15=9,~BL=\frac{2}{5}AB=\frac{2}{5}\cdot15=6.
Следовательно,
AC=\frac{AL^{2}}{AP}=\frac{81}{3}=27,~BC=\frac{BL^{2}}{BQ}=\frac{36}{2}=18.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1991, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991, с. 223, задача 3, вариант 1