17468. Точки M
и N
— середины меньших дуг AB
и BC
окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC
. Найдите радиус этой окружности, если известно, что AC=\sqrt{11}
, MN=3
.
Ответ. \frac{9}{5}
.
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, R
— искомый радиус описанной окружности треугольника ABC
.
Поскольку M
и N
— середины меньших дуг AB
и BC
описанной окружности данного треугольника, лучи AN
и CM
— биссектрисы углов соответственно BAC
и ACB
(см. задачу 430). Пусть I
— точка пересечения лучей AN
и CM
, а луч BI
пересекает описанную окружность данного треугольника в точке K
. Тогда
\angle MKN=\angle MKB+\angle BKN=\angle MAB+\angle BAN=\frac{\gamma}{2}+\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
По теореме синусов
\sqrt{11}=AC=2R\sin\angle ABC=2R\sin\beta,~3=MN=2R\sin\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=2R\cos\frac{\beta}{2},
поэтому
\frac{\sqrt{11}}{3}=\frac{2R\sin\beta}{2R\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{4\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{2\cos\frac{\beta}{2}}=2\sin\frac{\beta}{2},
откуда \sin\frac{\beta}{2}=\frac{\sqrt{11}}{6}
. Тогда
\cos\frac{\beta}{2}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{11}}{6})\right)}=\frac{5}{6}.
Следовательно,
R=\frac{3}{2\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{3}{2\cdot\frac{5}{6}}=\frac{9}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1997, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1997, с. 238, задача 3, вариант 1