17491. Три окружности радиусами 3, 5, 7 расположены так, что общая хорда пересечения любых двух окружностей является диаметром меньшей из них. 1) Найдите квадраты длин сторон треугольника, образованного центрами этих окружностей. 2) Найдите квадрат площади треугольника, образованного центрами этих окружностей.
Ответ. 1) 6, 24, 40; 2) 96.
Решение. Лемма. Пусть окружности радиусами r\lt R
расположены так, что их общая хорда является диаметром меньшей из них. Тогда расстояние между их центрами равно \sqrt{R^{2}-r^{2}}
.
Доказательство. Действительно, общая хорда двух окружностей перпендикулярна их линии центров (см. задачу 1130). На чертеже KL
— общая хорда, проходящая через центр первой окружности O_{1}
, перпендикулярная отрезку O_{1}O_{2}
. Тогда утверждение леммы — это просто теорема Пифагора для треугольника O_{1}O_{2}L
.
Применяя лемму к каждой из пар окружностей, получаем ответ.
2) Заметим, что по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонам, квадраты которых равны 16, 24 и 40, — прямоугольный (16+24= 40). Поэтому квадрат площади — это четверть произведения квадратов длин катетов, т. е. \frac{1}{4}\cdot16\cdot24=96
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, октябрь 2024, школьный этап, задача 7, 11 класс