17502. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Точки касания описанных окружностей треугольников ABE
и CDE
с их общими внешними касательными лежат на окружности \omega
. Точки касания описанных окружностей треугольников ADE
и BCE
с их общими внешними касательными лежат на окружности \gamma
. Докажите, что центры окружностей \omega
и \gamma
совпадают.
Решение. Обозначим центры описанных окружностей треугольников ABE
, BCE
, CDE
, ADE
через O_{AB}
, O_{BC}
, O_{CD}
, O_{AD}
соответственно. Пусть T_{1}
, T_{2}
— точки касания одной из общих касательных с описанными окружностями треугольников ABE
и CDE
соответственно; обозначим через O
и T
середины отрезков O_{AB}O_{CD}
и T_{1}T_{2}
соответственно (рис. 1). Тогда в прямоугольной трапеции O_{AB}T_{1}T_{2}O_{CD}
отрезок OT
— средняя линия, поэтому прямая OT
— серединный перпендикуляр к отрезку T_{1}T_{2}
. Заметим, что окружность \omega
симметрична относительно прямой O_{AB}O_{CD}
, на которой также лежит точка O
, поэтому O
— центр окружности \omega
.
Аналогично получаем, что середина отрезка O_{AD}O_{BC}
является центром окружности \gamma
. Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что O_{AB}O_{BC}O_{CD}O_{AD}
— параллелограмм (рис. 2.). Для доказательства этого достаточно заметить, что O_{AB}O_{BC}
и O_{CD}O_{AD}
— серединные перпендикуляры к отрезкам EB
и ED
(см. задачу 1130), поэтому O_{AB}O_{BC}\parallel O_{CD}O_{AD}
; аналогично, O_{AB}O_{AD}\parallel O_{BC}O_{CD}
, откуда и следует требуемое.
Автор: Терёшин А. Д.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, апрель 2025, финал, первый день, задача 2, 9 класс