17502. Диагонали выпуклого четырёхугольника
ABCD
пересекаются в точке
E
. Точки касания описанных окружностей треугольников
ABE
и
CDE
с их общими внешними касательными лежат на окружности
\omega
. Точки касания описанных окружностей треугольников
ADE
и
BCE
с их общими внешними касательными лежат на окружности
\gamma
. Докажите, что центры окружностей
\omega
и
\gamma
совпадают.
Решение. Обозначим центры описанных окружностей треугольников
ABE
,
BCE
,
CDE
,
ADE
через
O_{AB}
,
O_{BC}
,
O_{CD}
,
O_{AD}
соответственно. Пусть
T_{1}
,
T_{2}
— точки касания одной из общих касательных с описанными окружностями треугольников
ABE
и
CDE
соответственно; обозначим через
O
и
T
середины отрезков
O_{AB}O_{CD}
и
T_{1}T_{2}
соответственно (рис. 1). Тогда в прямоугольной трапеции
O_{AB}T_{1}T_{2}O_{CD}
отрезок
OT
— средняя линия, поэтому прямая
OT
— серединный перпендикуляр к отрезку
T_{1}T_{2}
. Заметим, что окружность
\omega
симметрична относительно прямой
O_{AB}O_{CD}
, на которой также лежит точка
O
, поэтому
O
— центр окружности
\omega
.
Аналогично получаем, что середина отрезка
O_{AD}O_{BC}
является центром окружности
\gamma
. Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что
O_{AB}O_{BC}O_{CD}O_{AD}
— параллелограмм (рис. 2.). Для доказательства этого достаточно заметить, что
O_{AB}O_{BC}
и
O_{CD}O_{AD}
— серединные перпендикуляры к отрезкам
EB
и
ED
(см. задачу 1130), поэтому
O_{AB}O_{BC}\parallel O_{CD}O_{AD}
; аналогично,
O_{AB}O_{AD}\parallel O_{BC}O_{CD}
, откуда и следует требуемое.
Автор: Терёшин А. Д.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, апрель 2025, финал, первый день, задача 2, 9 класс