17503. Внутри треугольника ABC
отмечена точка P
. На отрезке AB
отмечена точка Q
, а на отрезке AC
— точка R
, причём описанные окружности треугольников BPQ
и CPR
касаются прямой AP
. Через точки B
и C
провели прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника BPC
, а через точки Q
и R
— прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника PQR
. Докажите, что существует окружность, которая касается четырёх проведённых прямых.
Решение. Поскольку AB\cdot AQ=AP^{2}=AC\cdot AR
, четырёхугольник BCRQ
вписанный (см. задачу 114). Пусть O
— центр его описанной окружности. Обозначим через O_{1}
и O_{2}
центры описанных окружностей треугольников BPC
и QPR
. Покажем, что прямые BO_{1}
, CO_{1}
, QO_{2}
, RO_{2}
равноудалены от точки O
. Поскольку OB=OC=OQ=OR
, для этого достаточно установить равенство (направленных) углов. Тогда при повороте вокруг точки O
на угол, равный ACO_{1}
каждый из перпендикуляров, опущенных на сторону четырёхугольника BCRQ
, переходит в соседний с ним (соответствующие прямоугольные треугольники будут равны по гипотенузе и острому углу).
Первое и последнее из равенств
\angle OCO_{1}=\angle O_{1}BO=\angle OQO_{2}=\angle O_{2}RO.
Первое и последнее из этих равенств очевидны из симметрии относительно серединных перпендикуляров к отрезкам BC
и QR
.
Остаётся доказать равенство
\angle O_{1}BO=\angle OQO_{2}.\eqno(1).
Рассмотрим описанную окружность четырёхугольника BCRQ
. Заметим, что ROQ
— её центральный угол, соответствующий вписанному углу RCQ
, поэтому из равнобедренного треугольника QOR
получаем
\angle OQR=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle QOR)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle QOR=90^{\circ}-\angle RCQ.
Аналогично, рассматривая вписанный угол QPR
описанной окружности PQR
и соответствующий ему центральный угол QO_{2}R
, находим, что
\angle O_{2}QR=90^{\circ}-\angle RPQ.
Тогда
\angle RPQ=\angle OQO_{2}=\angle OQR-\angle O_{2}QR=(90^{\circ}-\angle RCQ)-(90^{\circ}-\angle RPQ)=\angle RPQ-\angle RCQ.
Аналогично, \angle O_{1}BO=\angle BPC-\angle BQC
. Значит, (1) эквивалентно равенству
\angle RPQ-\angle RCQ=\angle BPC-\angle BQC,
или
\angle BQC-\angle RCQ=\angle BPC-\angle RPQ.\eqno(2).
Из касания описанных окружностей треугольников BPQ
и CPR
следует, что
\angle RPQ=\angle RCP+\angle PBQ
(см. задачу 87), что равно (из суммы углов четырёхугольника BPCA
) \angle BPC-\angle BAC
. Тем самым, (2) преобразуется к виду
\angle BQC-\angle RCQ=\angle BAC,
что верно. Задача решена.
Автор: Терёшин А. Д.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, апрель 2025, заключительный этап, первый день, задача 2, 10 класс