17503. Внутри треугольника
ABC
отмечена точка
P
. На отрезке
AB
отмечена точка
Q
, а на отрезке
AC
— точка
R
, причём описанные окружности треугольников
BPQ
и
CPR
касаются прямой
AP
. Через точки
B
и
C
провели прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника
BPC
, а через точки
Q
и
R
— прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника
PQR
. Докажите, что существует окружность, которая касается четырёх проведённых прямых.
Решение. Поскольку
AB\cdot AQ=AP^{2}=AC\cdot AR
, четырёхугольник
BCRQ
вписанный (см. задачу 114). Пусть
O
— центр его описанной окружности. Обозначим через
O_{1}
и
O_{2}
центры описанных окружностей треугольников
BPC
и
QPR
. Покажем, что прямые
BO_{1}
,
CO_{1}
,
QO_{2}
,
RO_{2}
равноудалены от точки
O
. Поскольку
OB=OC=OQ=OR
, для этого достаточно установить равенство (направленных) углов. Тогда при повороте вокруг точки
O
на угол, равный
ACO_{1}
каждый из перпендикуляров, опущенных на сторону четырёхугольника
BCRQ
, переходит в соседний с ним (соответствующие прямоугольные треугольники будут равны по гипотенузе и острому углу).
Первое и последнее из равенств
\angle OCO_{1}=\angle O_{1}BO=\angle OQO_{2}=\angle O_{2}RO.

Первое и последнее из этих равенств очевидны из симметрии относительно серединных перпендикуляров к отрезкам
BC
и
QR
.
Остаётся доказать равенство
\angle O_{1}BO=\angle OQO_{2}.\eqno(1).

Рассмотрим описанную окружность четырёхугольника
BCRQ
. Заметим, что
ROQ
— её центральный угол, соответствующий вписанному углу
RCQ
, поэтому из равнобедренного треугольника
QOR
получаем
\angle OQR=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle QOR)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle QOR=90^{\circ}-\angle RCQ.

Аналогично, рассматривая вписанный угол
QPR
описанной окружности
PQR
и соответствующий ему центральный угол
QO_{2}R
, находим, что
\angle O_{2}QR=90^{\circ}-\angle RPQ.

Тогда
\angle RPQ=\angle OQO_{2}=\angle OQR-\angle O_{2}QR=(90^{\circ}-\angle RCQ)-(90^{\circ}-\angle RPQ)=\angle RPQ-\angle RCQ.

Аналогично,
\angle O_{1}BO=\angle BPC-\angle BQC
. Значит, (1) эквивалентно равенству
\angle RPQ-\angle RCQ=\angle BPC-\angle BQC,

или
\angle BQC-\angle RCQ=\angle BPC-\angle RPQ.\eqno(2).

Из касания описанных окружностей треугольников
BPQ
и
CPR
следует, что
\angle RPQ=\angle RCP+\angle PBQ

(см. задачу 87), что равно (из суммы углов четырёхугольника
BPCA
)
\angle BPC-\angle BAC
. Тем самым, (2) преобразуется к виду
\angle BQC-\angle RCQ=\angle BAC,

что верно. Задача решена.
Автор: Терёшин А. Д.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, апрель 2025, заключительный этап, первый день, задача 2, 10 класс