1753. CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ACH
, BCH
и ABC
, равна CH
.
Указание. Диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен сумме катетов без гипотенузы.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, AH=b_{1}
, BH=a_{1}
, CH=h
. Пусть r
, r_{1}
и r_{2}
— радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC
, AHC
и BHC
соответственно. Поскольку диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен сумме катетов без гипотенузы, то
r=\frac{a+b-c}{2},~r_{1}=\frac{h+b_{1}-b}{2},~r_{2}=\frac{h+a_{1}-a}{2}
(см. задачу 217). Следовательно,
r+r_{1}+r_{2}=\frac{a+b-c+h+b_{1}-b+h+a_{1}-a}{2}=
=\frac{2h+a_{1}+b_{1}-c}{2}=h.