1753. CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ACH
, BCH
и ABC
, равна CH
.
Указание. Диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен сумме катетов без гипотенузы.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, AH=b_{1}
, BH=a_{1}
, CH=h
. Пусть r
, r_{1}
и r_{2}
— радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC
, AHC
и BHC
соответственно. Поскольку диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен сумме катетов без гипотенузы, то
r=\frac{a+b-c}{2},~r_{1}=\frac{h+b_{1}-b}{2},~r_{2}=\frac{h+a_{1}-a}{2}
(см. задачу 217). Следовательно,
r+r_{1}+r_{2}=\frac{a+b-c+h+b_{1}-b+h+a_{1}-a}{2}=
=\frac{2h+a_{1}+b_{1}-c}{2}=h.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1963, билет 9, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 63-9-1, с. 101
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 789, с. 98
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 3.2, с. 32
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 319(2), с. 49
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 35(2), с. 33