1754. CD
— медиана треугольника ABC
. Окружности, вписанные в треугольники ACD
и BCD
, касаются отрезка CD
в точках M
и N
. Найдите MN
, если AC-BC=2
.
Ответ. 1.
Указание. Если окружность, вписанная в треугольник PQR
, касается стороны PQ
в точке S
, то PS=\frac{PQ+PR-RQ}{2}
(см. задачу 219).
Решение. Поскольку AD=DB
, а
CM=\frac{AC+CD-AD}{2},~CN=\frac{BC+CD-BD}{2}
(см. задачу 219), то
MN=|CM-CN|=\left|\frac{AC+CD-AD}{2}-\frac{BC+CD-BD}{2}\right|=
=\frac{|AC-BC|}{2}=\frac{2}{2}=1.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 11.29, с. 88