17551. Окружность с центром
O
проходит через вершины
A
и
B
квадрата
ABCD
и касается стороны
CD
в точке
M
. Пусть
P
— точка пересечения диаметра
MN
со стороной
AB
. Найдите площадь квадрата, если
PN=1
.
Ответ. 16.
Решение. Обозначим через
x
сторону квадрата. Диаметр
MN
перпендикулярен касательной
CD
, поэтому он перпендикулярен хорде
AB
, параллельной
CD
. Значит,
P
— середина
AB
(см задачу 1676),
AP=BP=\frac{x}{2}
.
Отрезок
AP
— высота прямоугольного треугольника
MAN
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
\frac{x^{2}}{4}=AP^{2}=PN\cdot PM=1\cdot x,

а так как
x\ne0
, то
x=4
. Следовательно,
S_{ABCD}=x^{2}=16.

Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2019, 8-9 классы