17551. Окружность с центром O
проходит через вершины A
и B
квадрата ABCD
и касается стороны CD
в точке M
. Пусть P
— точка пересечения диаметра MN
со стороной AB
. Найдите площадь квадрата, если PN=1
.
Ответ. 16.
Решение. Обозначим через x
сторону квадрата. Диаметр MN
перпендикулярен касательной CD
, поэтому он перпендикулярен хорде AB
, параллельной CD
. Значит, P
— середина AB
(см задачу 1676), AP=BP=\frac{x}{2}
.
Отрезок AP
— высота прямоугольного треугольника MAN
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
\frac{x^{2}}{4}=AP^{2}=PN\cdot PM=1\cdot x,
а так как x\ne0
, то x=4
. Следовательно,
S_{ABCD}=x^{2}=16.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2019, 8-9 классы