17554. На гипотенузе
AB
прямоугольного треугольника
ABC
отметили точку
K
, для которой
BK=BC
. Пусть
P
— точка на прямой, проведённой через точку
K
перпендикулярно
CK
, и равноудалённая от точек
K
и
B
, а
L
— середина отрезка
CK
. Докажите, что прямая
AP
— касательная к описанной окружности треугольника
BLP
.
Решение. Медиана
BL
равнобедренного треугольника
CBK
является высотой, поэтому прямые
BL
и
KP
, перпендикулярные одной и той же прямой
CK
, параллельны. Тогда, учитывая, что треугольник
BPK
равнобедренный, получим
\angle KPL=\angle PLB=\angle PBL.

Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая
AP
— касательная к описанной окружности треугольника
BLP
(см. задачу 144).
Источник: Украинская устная олимпиада по геометрии. — 2017, задача 3, 10 класс