17554. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отметили точку K
, для которой BK=BC
. Пусть P
— точка на прямой, проведённой через точку K
перпендикулярно CK
, и равноудалённая от точек K
и B
, а L
— середина отрезка CK
. Докажите, что прямая AP
— касательная к описанной окружности треугольника BLP
.
Решение. Медиана BL
равнобедренного треугольника CBK
является высотой, поэтому прямые BL
и KP
, перпендикулярные одной и той же прямой CK
, параллельны. Тогда, учитывая, что треугольник BPK
равнобедренный, получим
\angle KPL=\angle PLB=\angle PBL.
Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая AP
— касательная к описанной окружности треугольника BLP
(см. задачу 144).
Источник: Украинская устная олимпиада по геометрии. — 2017, задача 3, 10 класс