1756. Тригонометрическая форма теоремы Менелая. Дан треугольник ABC
. Некоторая прямая пересекает его стороны AB
, BC
и AC
(или их продолжения) в точках C_{1}
, A_{1}
, B_{1}
соответственно. Обозначим \angle BAA_{1}=\alpha_{1}
, \angle A_{1}AC=\alpha_{2}
, \angle CBB_{1}=\beta_{1}
, \angle B_{1}BA=\beta_{2}
, \angle ACC_{1}=\gamma_{1}
, \angle C_{1}CB=\gamma_{2}
. Докажите, что точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}\cdot\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}\cdot\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}=1.
Указание. Примените теорему синусов и теорему Менелая.
Решение. Предположим, что точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой. Докажем, что
\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}\cdot\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}\cdot\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}=1.
Действительно, по теореме Менелая
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=1.
Применяя теорему синусов к треугольникам ACC_{1}
и BCC_{1}
, получим, что
\frac{\sin\gamma_{1}}{AC_{1}}=\frac{\sin\angle AC_{1}C}{AC},~\frac{\sin\gamma_{2}}{C_{1}B}=\frac{\sin\angle BC_{1}C}{BC}=\frac{\sin\angle AC_{1}C}{BC},~
откуда \frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{AC}{BC}\cdot\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}
.
Аналогично
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}},~~\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{BC}{AB}\cdot\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}.
Следовательно,
1=\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{AC}{BC}\cdot\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}\cdot\frac{AB}{AC}\cdot\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}\cdot\frac{BC}{AB}\cdot\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}=\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}\cdot\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}\cdot\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}.
Что и требовалось доказать.
Обратно, пусть точки C_{1}
и A_{1}
лежат на сторонах AB
и BC
, точка B_{1}
— на продолжении стороны AC
за точку C
и при этом
\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}\cdot\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}\cdot\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}=1.
Докажем, что точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой. Рассуждая аналогично предыдущему, получим, что
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=1.
Следовательно, точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого расположения точек A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
на прямых BC
, AC
и AB
соответственно.
Примечание. 1. Если рассматривать ориентированные углы (см. задачу 873) \angle(AB,AA_{1})=\alpha_{1}
, \angle(AA_{1},AC)=\alpha_{2}
, \angle(CB,BB_{1})=\beta_{1}
, \angle(BB_{1},BA)=\beta_{2}
, \angle(CA,CC_{1})=\gamma_{1}
, \angle(CC_{1},CB)=\gamma_{2}
, то теорему можно сформулировать так.
Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}\cdot\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}\cdot\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}=-1.
2. См. также статью А.Егорова «Теоремы Чевы и Менелая», Квант, 2004, N3, с.35-38.