17560. Даны окружность \Gamma
радиуса r
с центром O
и окружности \Gamma_{1}
радиуса r_{1}
с центром O_{1}
и \Gamma_{2}
радиуса r_{2}
с центром O_{2}
. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
касаются изнутри окружности \Gamma
в точках A_{1}
и A_{2}
соответственно, а также касаются внешним образом между собой. Докажите, что прямые OA
, O_{1}A_{2}
и O_{2}A_{1}
пересекаются в одной точке.
Решение. Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому точка A
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
, точка O_{1}
— на отрезке OA_{1}
, точка O_{2}
— на отрезке OA_{2}
, причём
O_{1}A_{1}=r_{1},~O_{2}A_{2}=r_{2},~OA_{1}=OA_{2}=r,~O_{1}A=r_{1},~OA_{2}=r_{2}.
Тогда
\frac{OA_{1}}{A_{1}O_{1}}\cdot\frac{O_{1}A}{AO_{2}}\cdot\frac{O_{2}A_{2}}{A_{2}O}=\frac{r}{r_{1}}\cdot\frac{r_{1}}{r_{2}}\cdot\frac{r_{2}}{r}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (1621) прямые OA
, O_{1}A_{2}
и O_{2}A_{1}
пересекаются в одной точке.
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 1992, задача 2