17561. Дан треугольник ABC
с центром O
описанной окружности, ортоцентром H
и радиусом R
описанной окружности. Докажите, что OH\lt3R
.
Решение. Первый способ. Через вершины данного треугольника проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам. Получим треугольник DEF
(точки A
, B
и C
лежат на сторона EF
, DF
и DE
соответственно), подобный данному с коэффициентом 2 (см. задачу 1256). Центр описанной окружности треугольника DEF
— точка H
, а радиус вдвое больше R
, т. е. HF=2R
.
Поскольку BH\perp AC
, а DF\parallel AC
, то BH\perp DF
. Из прямоугольного треугольника BFH
получаем, что BH\lt HF=2R
. Следовательно, применив неравенство треугольника к треугольнику BOH
, получим
OH\lt BH+BO\lt2R+R=3R.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть стороны данного треугольника равны a
, b
и c
. Тогда (см. задачу 4145а)
OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\lt9R^{2}.
Следовательно, OH\lt3R
. Что и требовалось доказать.
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 1994, задача 2