17562. Пусть ABCD
— четырёхугольник, все стороны которого равны, а угол ABC
равен 60^{\circ}
. Прямая l
проходит через точку D
и не имеет общих точек с данным четырёхугольником (кроме точки D
). Прямая пересекает лучи AB
и BC
в точках E
и F
, соответственно, а прямые CE
и AF
пересекаются в точке M
. Докажите, что CA^{2}=CM\cdot CE
.
Решение. Заметим, что ABCD
— ромб, состоящий из двух равносторонних треугольников. Поскольку AE\parallel CD
и AD\parallel CF
, то \angle EAD=\angle DCF
и \angle AED=\angle CDF
. Значит, треугольники AED
и CDF
подобны. Кроме того, AD=AC
и CD=AD
, так как треугольник ADF
равносторонний. Тогда
\frac{AE}{AD}=\frac{CD}{CF}~\Rightarrow~\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{CF},
а так как \angle EAC=\angle ACF=120^{\circ}
, то треугольники EAC
и ACF
подобны. Значит,
\angle AEM=\angle AEC=\angle CAF=\angle CAM.
Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144) CA
— касательная к описанной окружности треугольника AEM
, и по теореме о касательной и секущей CA^{2}=CM\cdot CE
. Что и требовалось доказать.
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 1993, задача 1