17565. Дан треугольник ABC
, в котором \angle{BAC}=60^\circ
и AB\gt AC
. Точки I
и H
— центры соответственно вписанной окружности и ортоцентр треугольника ABC
. Докажите, что 2\angle AHI=3\angle ABC
.
Решение. Пусть \angle ABC=2\beta
. Заметим, что \angle AHB=\angle AIB=120^{\circ}
(см. задачи 1176 и 4770), поэтому четырёхугольник CHIB
вписанный. Значит,
\angle IHD=180^{\circ}-\angle CHI=\angle CBI=\frac{1}{2}\angle ABC=\beta.
В то же время,
\angle AHC=90^{\circ}-\angle HAD=\angle ABC=2\beta.
Следовательно,
\angle AHI=\angle AHD+\angle IHD=2\beta+\beta=3\beta.
Примечание. Центр описанной окружности такого треугольника тоже лежит на описанной окружности четырёхугольника CHIB
.
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 2007, задача 2