17568. Площадь трапеции равна 24. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если диагонали трапеции равны 6 и 10.
Ответ. 4.
Решение. Пусть AC=6
и BD=10
— диагонали трапеции ABCD
с основаниями AD=2a
и BC=2b
.
Пусть прямая, проведённая через вершину B
параллельно AC
пересекает прямую AD
в точке M
. Тогда площадь треугольника BDM
равна площади трапеции ABCD
(см. задачу 4668). Достроим треугольник BDM
до параллелограмма BMND
. Тогда площадь треугольника BMN
равна равна площади треугольника BMD
, а значит, площади трапеции ABCD
.
Обозначим \angle BMN=\alpha
. Тогда
24=S_{\triangle BMN}=\frac{1}{2}MB\cdot MN\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot6\cdot10\sin\alpha=30\sin\alpha~\Rightarrow
\Rightarrow~\sin\alpha=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}~\Rightarrow~\cos\alpha=\frac{3}{5}.
По теореме косинусов
BN=\sqrt{MB^{2}+MN^{2}-2MB\cdot MN\cos\alpha}=\sqrt{6^{2}+10^{2}-2\cdot6\cdot10\cdot\frac{3}{5}}=8.
Пусть G
— центр параллелограмма BMND
, а E
и F
— середины оснований соответственно BC
и AD
трапеции. Тогда, поскольку AMBC
— параллелограмм,
MA=BC=2b~\Rightarrow~MD=MA+AD=2b+2a~\Rightarrow~GD=MG=\frac{1}{2}MD=a+b~\Rightarrow
\Rightarrow~GF=GD-FD=a+b-a=b=BE.
Значит, BEFG
— параллелограмм. Следовательно,
EF=BG=\frac{1}{2}BN=\frac{1}{2}\cdot8=4.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2024-2025, отборочный этап, задача 7