17571. В равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
угол A
равен 58^{\circ}
. Точка K
— середина стороны AB
. На стороне CD
отмечена точка H
, для которой KH
— перпендикуляр к стороне CD
и угол CHB
равен углу AHK
. Найдите угол AHD
.
Ответ. 77^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle CHB=\angle AHK=\alpha
. Тогда
\angle BHK=90^{\circ}-\angle CHB=90^{\circ}-\alpha~\Rightarrow~\angle AHB=\angle AHK+\angle BHK=\alpha+(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому HK=\frac{1}{2}AB=AK
. Значит, треугольник AKH
равнобедренный, поэтому
\angle HAK=\angle AHK=\alpha~\Rightarrow~\angle AKH=180^{\circ}-2\alpha.
Сумма углов четырёхугольника ADHK
равна 360^{\circ}
, т. е.
90^{\circ}+58^{\circ}+58^{\circ}+(180^{\circ}-2\alpha)=360^{\circ},
откуда \alpha=13^{\circ}
. Следовательно,
\angle AHD=\angle DHK-\angle AHK=90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-13^{\circ}=77^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2024-2025, отборочный этап, задача 5, 8 класс