17572. В треугольнике ABC
на стороне AC
отмечена точка D
, а на стороне BC
отмечена точка E
, для которой что AD=DE
и луч DB
— биссектриса угла ADE
. Отрезки BD
и AE
пересекаются в точке P
. Известно, что площадь треугольника ABP
в шесть раза меньше площади треугольника AEC
. Найдите отношение площади четырёхугольника DPEC
к площади треугольника ABP
. В ответ запишите число, равное отношению указанных площадей. Если в ответе получается бесконечная дробь, округлите её до десятых по правилам округления.
Ответ. 5{,}4
Решение. Биссектриса DP
равнобедренного треугольника ADE
является высотой и медианой, поэтому четырёхугольник ABED
симметричен относительно прямой BD
. Тогда BA=BE
и BD
— биссектриса треугольника ABC
.
Пусть площади треугольников ABP
и AEC
равны s
и 6s
, а площадь треугольника APD
— через x
. Тогда
S_{\triangle ABE}=2S_{\triangle ABP}=2s.
Заметим, что
\frac{BE}{EC}=\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle ACE}}=\frac{2s}{6s}=\frac{1}{3},
а так как BA=BE
, то \frac{BA}{BC}=\frac{1}{4}
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC},~\mbox{или}~\frac{S_{\triangle BAD}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{1}{4}~\Rightarrow~\frac{S_{\triangle BAD}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{s+x}{6s-x+s}=\frac{1}{4}~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{s+x}{7s-x}=\frac{1}{4}~\Leftrightarrow~\frac{s+x}{7s-x}=\frac{1}{4}~\Leftrightarrow~4s+4x=7s-x\Leftrightarrow~x=\frac{3}{5}s.
Следовательно,
\frac{S_{DPEC}}{S_{\triangle ABP}}=\frac{6s-x}{s}=\frac{6s-\frac{3}{5}s}{s}=\frac{27}{5}=5{,}4.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2024-2025, отборочный этап, задача 8, 8 класс