17576. Правильный треугольник вписан в окружность радиуса R=\frac{2}{\sqrt{\sqrt{2}+1}}
. Точка P
, отличная от вершин треугольника, расположена на окружности. Найдите сумму расстояний от точки P
до двух ближайших вершин вписанного треугольника, если известно, что хорда, соединяющая эту точку с третьей вершиной треугольника, образует угол \alpha=22{,}5^{\circ}
с диаметром, проведённым из третьей вершины.
Ответ. 2\sqrt[{4}]{{2}}
.
Решение. Заметим, что PC=PA+PB
(см. задачу 17), поэтому задача состоит в вычислении отрезка PC
.
Пусть CD
— диаметр окружности. Точка P
лежит на окружности с диаметром CD
, поэтому треугольник CPD
прямоугольный с прямым углом при вершине P
. Значит,
PC=CD\cos\angle DCP=2R\cos\alpha=2R\cos22{,}5^{\circ}.
Далее, используя формулу тригонометрии, вычисляем
\cos22{,}5^{\circ}=\sqrt{\frac{1+\cos45^{\circ}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}.
Следовательно,
PC=2R\cos22{,}5^{\circ}=2\cdot\frac{2}{\sqrt{\sqrt{2}+1}}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}=2\sqrt[{4}]{{2}}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2024-2025, отборочный этап, задача 7, 10 класс