17582. В треугольнике MNK
стороне MN
взята точка P
, причём MP:PN=2:3
, а на стороне NK
отмечена точка Q
, причём NQ:QK=4:5
. Прямые KP
и MQ
пересекаются в точке O
. Найдите площадь треугольника KOQ
, если известно, что площадь треугольника MOP
равна 48.
Ответ. 125.
Решение. Пусть площадь треугольника ABC
равна S
. Тогда (см. задачу 3000)
S_{\triangle MOP}=\frac{OP}{KP}S_{\triangle KMP}=\frac{OP}{KP}\cdot\frac{MP}{MN}\cdot S.
Через точку K
проведём прямую параллельную стороне MN
. Продолжим отрезок MQ
до пересечения с этой прямой в точке T
. Пусть MP=2t
, NP=3t
. Из подобия треугольников MQN
и TQK
получаем
TK=MN\cdot\frac{KQ}{QN}=\frac{5}{4}\cdot5t=\frac{25}{4}t.
Тогда коэффициент подобия треугольников MOP
и TOK
равен
\frac{MP}{TK}=\frac{2t}{\frac{25}{4}t}=\frac{8}{25},
поэтому \frac{OP}{OK}=\frac{8}{25}
, а \frac{OP}{KP}=\frac{8}{33}
. Следовательно,
48=S_{\triangle MOP}=\frac{OP}{KP}\cdot\frac{MP}{MN}S=\frac{8}{33}\cdot\frac{2}{5}\cdot S=\frac{16}{165}~\Rightarrow~S=3\cdot165=3\cdot5\cdot11.
Через точку M
проведём прямую параллельную стороне KN
. Продолжим отрезок KP
до пересечения с этой прямой в точке R
. Пусть NQ=4x
, KQ=5x
. Из подобия треугольников MPR
и NPK
получаем
RM=KN\cdot\frac{MP}{PN}=\frac{2}{3}\cdot9x=6x.
Тогда коэффициент подобия треугольников KOQ
и ROM
равен
\frac{KQ}{MR}=\frac{5x}{6x}=\frac{5}{6},
поэтому \frac{OQ}{MQ}=\frac{5}{6}
, а \frac{OQ}{MQ}=\frac{5}{11}
. Значит,
S_{\triangle KOQ}=\frac{OQ}{MQ}\cdot\frac{KQ}{KN}\cdot S=\frac{5}{11}\cdot\frac{5}{9}\cdot3\cdot5\cdot11=125.
.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2023-2024, отборочный этап, задача 2, второй вариант, 9 класс