17584. Даны две окружности
\omega_{1}
и
\omega_{2}
с центрами
O_{1}
и
O_{2}
, радиусы которых 1 и
\sqrt{2}
соответственно. Окружности
\omega_{1}
и
\omega_{2}
пересекаются в точках
A
и
B
, причём расстояние между центрами
O_{1}
и
O_{2}
равно 2. Найдите хорду
AC
окружности
\omega_{2}
, середина которой лежит на окружности
\omega_{1}
. В ответ запишите квадрат хорды
AC
.
Ответ.
3{,}5
.
Решение. Пусть
D
— середина хорды
AC
. Поскольку
O_{2}A=O_{2}C
, то
O_{2}D\perp AC
(см. задачу 1677). Пусть луч вторично пересекает окружность
\omega_{1}
в точке
E
. Из точки
D
, лежащей на окружности
\omega_{1}
, хорда
AE
видна под прямым углом, поэтому
AE
— диаметр окружности
\omega_{1}
.
Обозначим
AD=DC=x
. Из прямоугольных треугольников
DCO_{2}
и
ADE
получаем
O_{2}D^{2}=\sqrt{O_{2}C^{2}-CD^{2}}=\sqrt{2-x^{2}},ED^{2}=\sqrt{AE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{4-x^{2}}.

Пусть прямая
O_{1}O_{2}
пересекает окружность
\omega_{1}
в точках
M
и
K
. Поскольку
O_{2}E\cdot O_{2}D=O_{2}K\cdot O_{2}M
(см. задачу 2636), получим уравнение
\sqrt{2-x^{2}}\cdot(\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{4-x^{2}})=1\cdot3,

2-x^{2}+\sqrt{(2-x^{2})(4-x^{2})}=3,~x^{4}-6x^{2}+8=x^{4}+2x^{2}+1,~x^{2}=\frac{7}{8}.

Следовательно,
AC^{2}=(2x)^{2}=4\cdot\frac{7}{8}=\frac{7}{2}=3{,}5.

Источник: Балканская математическая олимпиада. — 1987, задача 4
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2023-2024, отборочный (заочный) онлайн-этап, задача 5, 10 класс