17584. Даны две окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
, радиусы которых 1 и \sqrt{2}
соответственно. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
пересекаются в точках A
и B
, причём расстояние между центрами O_{1}
и O_{2}
равно 2. Найдите хорду AC
окружности \omega_{2}
, середина которой лежит на окружности \omega_{1}
. В ответ запишите квадрат хорды AC
.
Ответ. 3{,}5
.
Решение. Пусть D
— середина хорды AC
. Поскольку O_{2}A=O_{2}C
, то O_{2}D\perp AC
(см. задачу 1677). Пусть луч вторично пересекает окружность \omega_{1}
в точке E
. Из точки D
, лежащей на окружности \omega_{1}
, хорда AE
видна под прямым углом, поэтому AE
— диаметр окружности \omega_{1}
.
Обозначим AD=DC=x
. Из прямоугольных треугольников DCO_{2}
и ADE
получаем
O_{2}D^{2}=\sqrt{O_{2}C^{2}-CD^{2}}=\sqrt{2-x^{2}},ED^{2}=\sqrt{AE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{4-x^{2}}.
Пусть прямая O_{1}O_{2}
пересекает окружность \omega_{1}
в точках M
и K
. Поскольку O_{2}E\cdot O_{2}D=O_{2}K\cdot O_{2}M
(см. задачу 2636), получим уравнение
\sqrt{2-x^{2}}\cdot(\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{4-x^{2}})=1\cdot3,
2-x^{2}+\sqrt{(2-x^{2})(4-x^{2})}=3,~x^{4}-6x^{2}+8=x^{4}+2x^{2}+1,~x^{2}=\frac{7}{8}.
Следовательно,
AC^{2}=(2x)^{2}=4\cdot\frac{7}{8}=\frac{7}{2}=3{,}5.
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 1987, задача 4
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2023-2024, отборочный (заочный) онлайн-этап, задача 5, 10 класс