17596. Точка O
лежит внутри выпуклого четырёхугольника. Известно, что сумма квадратов расстояний от O
до всех вершин четырёхугольника равна его удвоенной площади. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат, а O
— его центр.
Решение. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник и
OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+OD^{2}=2S_{ABCD}.
Поскольку (см. задачу 3399)
OA^{2}+OB^{2}\geqslant2OA\cdot OB\geqslant2\cdot OA\cdot OB\sin\angle AOB=4S_{\triangle AOB}
(так как \sin\angle AOB\leqslant1
) и аналогично,
OB^{2}+OC^{2}\geqslant4S_{\triangle BOC},~OC^{2}+OD^{2}\geqslant4S_{\triangle COD},~OD^{2}+OA^{2}\geqslant4S_{\triangle DOA},
то, сложив эти четыре неравенства, получим
2(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+OD^{2})\geqslant4(S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle COD}+S_{\triangle DOA})=4S_{ABCD},
откуда
OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+OD^{2}\geqslant2S_{ABCD}.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда OA=OB=OC=OD
и
\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOA=90^{\circ},
т. е. когда ABCD
— квадрат.
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 1997, задача 1