17598. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE
, причём ABCD
— квадрат. Известно, что \angle AEC+\angle BED=180^{\circ}
. Докажите, что пятиугольник ABCDE
вписанный.
Решение. Предположим, что точка E
лежит внутри окружности, описанной около квадрата. Тогда диагональ AC
квадрата (т. е. диаметр окружности) видна из точки E
под тупым углом (см. задачу 1772). Аналогично, диагональ BD
видна из точки E
под тупым углом. Значит,
\angle AEC+\angle BED\gt90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ},
что противоречит условию задачи.
Аналогично докажем, что точка E
не может лежать вне окружности. Следовательно, точка E
лежит на окружности, описанной около квадрата ABCD
, т. е. ABCDE
— вписанный пятиугольник. Что и требовалось доказать.
Источник: Японские математические олимпиады. — 2012, задача 1