17599. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Точка, отличная от A
и B
, удовлетворяет условию \angle PAC=\angle PBD=90^{\circ}
. Докажите, что прямая, проходящая через точку P
перпендикулярно прямой CD
, проходит через центр окружности, описанной около треугольника PAB
.
Решение. Пусть диагонали данного четырёхугольника пересекаются в точке E
. Докажем, что прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника PBE
(т. е. через середину гипотенузы OE
прямоугольного треугольника PBE
), перпендикулярна CD
. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
Из точек A
и B
отрезок PE
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром PE
. Тогда
\angle FPB=\angle EPB=\angle EAB=\angle CAB=\angle CDB=\angle FDB.
Из точек P
и D
, лежащих по одну сторону от прямой BF
, отрезок BF
виден под одним и тем же углом, значит (см. задачу 12), точки B
, P
, D
и F
лежат на одной окружности, а так как \angle PBD=90^{\circ}
, то DP
— её диаметр. Следовательно, \angle PFD=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Японские математические олимпиады. — 2015, задача 1