17602. Точка
D
лежит внутри треугольника
ABC
, в котором
AB=AC\ne BC
, причём
\angle ABD=\angle ACD=30^{\circ}
. Докажите, что биссектрисы углов
ACB
и
\angle ADB
пересекаются на отрезке
AB
.
Решение. Точка
D
равноудалена от концов отрезка
BC
, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к основанию
BC
равнобедренного треугольника
ABC
, а значит, на биссектрисе угла
BAC

Пусть
DE
— биссектриса треугольника
ADB
. Обозначим
\angle CAD=\angle BAD=\alpha
. Тогда
\angle ACB=\angle ABC=90^{\circ}-\alpha
.
По теореме синусов
\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BD}=\frac{\sin30^{\circ}}{\sin\alpha}=\frac{1}{2\sin\alpha}=\frac{\cos\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin(90^{\circ}-\alpha)}{\sin2\alpha}=\frac{AC}{BC}.

Следовательно (см. задачу 1510),
CE
— биссектриса треугольника
ABC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Японские математические олимпиады. — 2019, задача 1