17605. Четверти двух окружностей касаются, как показано на рисунке. Найдите угол EAF
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BEC=\beta
. Из равнобедренного треугольника ACB
и прямоугольного треугольника BEC
получаем
\angle BAC=\angle CBA=\angle CBE=90^{\circ}-\beta.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACE=\angle BAC-\angle AEC=(90^{\circ}-\beta)-\beta=90^{\circ}-2\beta.
Из равнобедренного треугольника ACD
получаем
\angle CAD=\angle ADC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ACD=90^{\circ}-\frac{1}{2}(90^{\circ}-2\beta)=45^{\circ}+\beta.
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle DAE=\angle ADC-\angle AEC=(45^{\circ}+\beta)-\beta=45^{\circ}=\angle DFE.
Значит, точки A
, E
, F
, D
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Следовательно,
\angle EAF=\angle FDE=45^{\circ}.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2023, задача 6, 9 класс