17611. Пусть BB'
и CC'
биссектрисы треугольника ABC
. Докажите, A=60^{\circ}
тогда и только тогда, когда BC'+CB'=BC
.
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
, AB=c
. Тогда (см. задачу 1509)
BC'+CB'=BC~\Leftrightarrow~\frac{ca}{a+b}+\frac{ab}{c+a}=a~\Leftrightarrow~c(c+a)+b(a+b)=(a+b)(c+a)~\Leftrightarrow~a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc.
Если \angle A=60^{\circ}
, то по теореме косинусов a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc
.
Обратно, если a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc
, то по теореме косинусов
\cos\angle BAC=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2},
откуда \angle BAC=60^{\circ}
.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математическая олимпиада стран Персидского залива. — 2013, задача 2