17612. Биссектриса угла A
треугольника ABC
пересекает сторону BC
в точке D
. Через вершину B
перпендикулярно AD
проведена прямая, вторично пересекающая описанную окружность треугольника ABD
в точке E
. Докажите, что точки E
, A
и центр O
описанной окружности треугольника ABC
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим через \Gamma
описанную окружность треугольника ABD
. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
. Тогда \angle OAD=\angle HAD
(см. задачу 20). Осталось доказать, что \angle EAD=\angle OAD
.
Действительно, вписанные в окружность \Gamma
углы EAD
и EBD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle EAD=\angle EBD=90^{\circ}-\angle BDA=\angle HAD=\angle OAD.
Отсюда следует утверждение задачи.