17619. Дан правильный 14-угольник ABCDEFGHIJKLMN
. Докажите, что прямые AE
, BG
и CK
пересекаются в одной точке.
Решение. Первый способ. Пусть диагонали AE
и BG
пересекаются в точке X
. Положим 2\theta=\frac{1}{14}\cdot360^{\circ}
. Тогда каждая сторона 14-угольника видна из его центра под углом 2\theta
, а из остальных 12 вершин — под углом \theta
, поэтому
\angle KCB=5\theta,~\angle CBG=4\theta,~\angle BAE=3\theta,
\angle AXB=\frac{1}{2}(\smile GFE+\smile AB)=\frac{1}{2}(4\theta+2\theta)=3\theta.
Значит, треугольник ABX
равнобедренный с основанием AX
, поэтому BC=AB=BX
, а так как
\angle CBX=\angle CBG=4\theta~\mbox{и}~14\theta=180^{\circ},
то
\angle BXC=\angle XCB=5\theta.
Тогда \angle XCB=\angle KCB
. Следовательно, K
, X
и C
лежат на одной прямой. Отсюда вытекает утверждение задачи.
Второй способ. Рассмотрим треугольник ACG
. Поскольку
\angle KCA=\angle KCG=5\theta,~\angle EAG=\angle EAC=2\theta~\mbox{и}~\angle BGC=\angle BGA=\theta,
то утверждение задачи следует из тригонометрической теоремы Чевы (см. задачу 1900).
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2018, первый день, задача 6