17622. Около квадрата ABCD
описана окружность \Omega
. Точка P
лежит на меньшей дуге CD
и отлична от C
и D
. Прямые AP
и BD
пересекаются в точке X
, а прямые CP
и BD
— в точке Y
. Точка M
— середина отрезка XY
. Докажите, что прямая MP
— касательная к окружности \Omega
.
Решение. Из теоремы, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), следует, что достаточно доказать равенство \angle MPA=\angle ABP
.
Обозначим \angle AXB=\angle MXP=\theta
. Диагональ AC
— диаметр окружности \Omega
, поэтому
\angle APC=\angle APY=90^{\circ}.
Точка M
— середина гипотенузы XY
прямоугольного треугольника XYP
, поэтому
MX=\frac{1}{2}XY=MP~\Rightarrow\angle MPA=\angle MPX=\angle MXP=\theta.
Заметим, что
\angle AXD=180^{\circ}-\theta~\mbox{и}~\angle XDA=45^{\circ}~\Rightarrow~\angle DAP=\angle DAX=\theta-45^{\circ}.
Из вписанного четырёхугольника ABPD
, получаем
\angle DBP=\angle DAP=\theta-45^{\circ}~\Rightarrow~\angle ABP=\angle ABD+\angle DBP=45^{\circ}+(\theta-45^{\circ})=\theta.
Значит,
\angle MPA=\angle ABP=\theta.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2019, второй день, задача 6