17625. Через точку P
, лежащую внутри квадрата ABCD
, проведены перпендикулярные прямые l_{1}
и l_{2}
, причём прямая l_{1}
пересекает стороны AB
и CD
в точках W
и Y
соответственно, а прямая l_{2}
пересекает стороны BC
и DA
в точках X
и Z
соответственно. Найдите все точки P
, лежащие внутри квадрата ABCD
, для которых четырёхугольник WXYZ
вписанный.
Ответ. Все точки, лежащие на диагоналях квадрата.
Решение. Из точек B
и P
отрезок WX
виден под прямым углом, поэтому эти точки лежат на окружности с диаметром WX
. Аналогично, точки Y
и Z
лежат на окружности с диаметром ZY
. Тогда
\angle ABP=\angle WBP=\angle WXP=\angle WXZ=\angle ZYW=\angle ZYP=\angle ZDP=\angle ADP.
У треугольников ABP
и ADP
есть общая сторона AP
, равные стороны AB
и AD
, а также равные углы ABP
и ADP
. Значит (см. задачу 10280), либо \angle APB=\angle APD
, либо \angle APB+\angle APD=180^{\circ}
. В первом случае треугольники ABP
и ADP
равны, поэтому точка P
лежит на диагонали AC
квадрата. Во втором случае точка P
лежит на диагонали BD
. Следовательно, точка P
лежит на одной из диагоналей квадрата.
Докажем, что верно и обратное. Пусть точка P
лежит одной из диагоналей квадрата. Без ограничения общности считаем, что это диагональ AC
. Тогда треугольники ABP
и ADP
симметричны относительно прямой AC
, поэтому они равны. Значит,
\angle WXZ=\angle WXP=\angle WBP=\angle ABP=\angle ADP=\angle ZDP=\angle ZYP=\angle ZYW.
Следовательно (см. задачу 12), четырёхугольник WXYZ
вписанный.
Утверждение задачи доказано.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2020, второй день, задача 6