17627. На прямой l
лежат три различные точки A
, B
и P
в указанном порядке. Через точки A
и B
проведены прямые соответственно a
и b
, перпендикулярные l
. Через точку P
проведена прямая, отличная от l
и пересекающая прямые a
и b
в точках Q
и R
соответственно. Прямая, проведённая через точку A
перпендикулярно BQ
, пересекает прямую BQ
в точке L
, а прямую b
— в точке T
. Прямая, проведённая через точку B
перпендикулярно AR
, пересекает прямую AR
в точке K
, а прямую a
— в точке S
.
а) Докажите, что точки P
, T
, S
лежат на одной прямой.
б) Докажите, что точки P
, K
, L
лежат на одной прямой.
Решение. а) Из подобия прямоугольных треугольников PAQ
и PBR
следует, что \frac{AQ}{BR}=\frac{AP}{BP}
. Точки P
, T
, S
лежат на одной прямой, если \frac{AS}{BT}=\frac{AP}{BP}
, поэтому достаточно доказать, что \frac{BT}{BR}=\frac{AS}{AQ}
.
Поскольку \angle BAT=\angle LBT=\angle AQB
, треугольники ABT
и QAB
подобны, поэтому \frac{BT}{AB}=\frac{BA}{AQ}
. Аналогично, подобны треугольники ABR
и SAB
, поэтому \frac{BR}{BA}=\frac{AB}{AS}
. Тогда
\frac{BT}{BR}=\frac{\frac{BT}{BA}}{\frac{BR}{BA}}=\frac{\frac{BA}{AQ}}{\frac{AB}{AS}}=\frac{AS}{AQ}.
Отсюда следует утверждение а).
б) Пусть прямая PK
пересекает прямую b
в точке B_{1}
, прямую a
— в точке A_{1}
, а прямая PL
пересекает прямую b
в точке B_{2}
, прямую a
— в точке A_{2}
. По теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых (см. задачу 1597) \frac{A_{1}A}{AS}=\frac{B_{1}B}{BT}
(здесь и далее все отрезки направленные). Аналогично, \frac{A_{1}A}{AQ}=\frac{B_{1}B}{RB}
. Тогда
\frac{BB_{1}}{BT}=\frac{RB_{1}}{RB}=\frac{RB+BB_{1}}{RB}=1+\frac{BB_{1}}{RB}=1-\frac{BB_{1}}{BR}~\Rightarrow~BB_{1}=\frac{1}{\frac{1}{BT}+\frac{1}{BR}}.
Аналогично,
\frac{B_{2}B}{BR}=\frac{A_{2}A}{AQ}=\frac{B_{2}T}{TB}~\Rightarrow~\frac{BB_{2}}{BR}=\frac{TB_{2}}{TB}=\frac{TB+BB_{2}}{TB}=
=1+\frac{BB_{2}}{TB}=1-\frac{BB_{2}}{TB}~\Rightarrow~BB_{2}=\frac{1}{\frac{1}{BR}+\frac{1}{BT}}.
Значит, точки B_{1}
и B_{2}
совпадают. Отсюда следует утверждение б).
Источник: Олимпиады стран Бенилюкс. — 2010, задача 3