17642. На плоскости расположены две равные непересекающиеся окружности радиуса R
с центрами O_{1}
и O_{2}
, прямая s
, проходящая через точки O_{1}
и O_{2}
, и общая внешняя касательная t
этих окружностей. Третья окружность касается первой и второй в точках K
и L
соответственно, прямой s
— в точке M
, а прямой t
— в точке P
. Первая окружность касается прямой t
точке N
.
а) Найдите отрезок O_{1}O_{2}
.
б) Докажите, что точки M
, K
и N
лежат на одной прямой.
Ответ. а) 2R\sqrt{2}
.
Решение. а) Радиус третьей окружности очевидно равен \frac{1}{2}R
. Пусть O_{3}
— её центр. Рассмотрим прямоугольный треугольник O_{1}MO_{3}
с катетами O_{3}M=\frac{1}{2}R
, O_{1}M
и гипотенузой
O_{1}O_{3}=O_{1}K+KO_{3}=R+\frac{1}{2}R=\frac{3}{2}R.
По теореме Пифагора
O_{1}M=\sqrt{O_{1}O_{3}^{2}-O_{3}M^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}R^{2}-\frac{1}{4}R^{2}}=R\sqrt{2}
(см. задачу 1758). Аналогично, O_{2}M=R\sqrt{2}
. Следовательно, O_{1}O_{2}=2R\sqrt{2}
.
б) Точки O_{1}
, K
и O_{3}
лежат на одной прямой, поэтому достаточно доказать, что \angle O_{1}KN=\angle O_{3}KM
.
Обозначим \angle PMK=\angle MKO_{3}=\alpha
. Тогда из параллельности O_{1}N
и O_{3}M
получаем
\angle KO_{1}N=\angle O_{3}O_{1}N=\angle KO_{3}M=180^{\circ}-2\alpha~\Rightarrow~\angle O_{1}KN=\angle O_{1}NK=
=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle KO_{1}N=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha=\angle O_{3}KM.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 1998-1999, задача 3