17643. На стороне BC
треугольника ABC
отмечена точка D
, отличная от B
и C
. Известно, что биссектрисы углов ACB
и ADB
пересекаются на стороне AB
. Точка D'
симметрична точке D
относительно прямой AB
. Докажите, что точки C
, A
и D
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть биссектрисы углов ACB
и ADB
пересекаются в точке E
. Обозначим \angle ACB=\gamma
, \angle ADB=\delta
и \angle ABC=\beta
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) из треугольников ABC
и ABD
получаем
\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{DB}.
По теореме синусов из тех же треугольников получаем
\frac{AC}{BC}=\frac{\sin\beta}{\sin(180^{\circ}-\gamma-\beta)}=\frac{\sin\beta}{\sin(\gamma+\beta)},~\frac{AD}{BD}=\frac{\sin\beta}{\sin(180^{\circ}-\delta-\beta)}=\frac{\sin\beta}{\sin(\delta+\beta)}.
Значит,
\frac{\sin\beta}{\sin(\gamma+\beta)}=\frac{\sin\beta}{\sin(\delta+\beta)}~\Rightarrow~\sin(\gamma+\beta)=\sin(\delta+\beta).
Возможны два случая:
1. \gamma+\beta=\delta+\beta
, откуда \gamma=\delta
, что невозможно, так как точка D
лежит внутри отрезка BC
.
2. \gamma+\beta+\delta+\beta=180^{\circ}
, т. е. \gamma+\delta+2\beta=180^{\circ}
. Треугольники ADB
и AD'B
равны, так как они симметричны, поэтому
\angle AD'B=\angle ADB=\delta~\mbox{и}~\angle ABD'=\angle ABD=\beta.
Значит, точка A
лежит на стороне CD'
треугольника BCD'
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 1998-1999, задача 5