17648. Точка X
взята внутри правильного n
-угольника со стороной a
. Пусть h_{1},h_{2},\dots,h_{n}
— расстояния от X
до прямых, содержащих стороны n
-угольника. Докажите, что
\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\dots+\frac{1}{h_{n}}\gt\frac{2\pi}{a}.
Решение. Пусть S
— площадь данного n
-угольника, r
— радиус его вписанной окружности. Тогда
S=n\cdot\frac{ar}{2}.
С другой стороны,
S=\frac{1}{2}a(h_{1}+h_{2}+\dots+h_{n}).
Среднее гармоническое n
положительных чисел не больше их среднего арифметического (см. примечание к задаче 3399), т. е.
\frac{1}{\frac{\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\dots+\frac{1}{h_{n}}}{n}}\leqslant\frac{h_{1}+h_{2}+\dots+h_{n}}{n}=\frac{2S}{na}=r~\Rightarrow~\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\dots+\frac{1}{h_{n}}\geqslant\frac{n}{r},
а так как длина вписанной окружности меньше периметра описанного правильного многоугольника, т. е. na\gt2\pi r
, или \frac{n}{r}\gt\frac{2\pi}{a}
, то
\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\dots+\frac{1}{h_{n}}\geqslant\frac{n}{r}\gt\frac{2\pi}{a}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2001, задача 2