17649. Стороны треугольника и диаметр его описанной окружности в некотором порядке образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что треугольник прямоугольный.
Решение. Через центр вписанной окружности проведём прямую, параллельную стороне треугольника. Диаметр вписанной окружности, лежащий на этой прямой, меньше её отрезка, заключённого внутри треугольника. Значит, диаметр вписанной окружности треугольника меньше каждой стороны треугольника.
Таким образом, диаметр вписанной окружности треугольника равен x
, а стороны треугольника равны x+d
, x+2d
, x+3d
, где d\gt0
. Тогда, если p
— полупериметр треугольника, а S
— площадь, то (см. задачи 452 и 2730)
p=\frac{3x+6d}{2}=\frac{3(x+2d)}{2},
S=p\cdot\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{p(p-(x+d)(p-(x+2d)(p-(x+3d)}{16}},
или
\frac{(3x+2d)x}{4}=\sqrt{\frac{3(x+2d)(x+4d)(x+2d)x}{16}}~\Rightarrow~x=2d
Тогда стороны треугольника равны
x+d=3d,~x+2d=4d,~x+3d=5d.
Следовательно, треугольник прямоугольный.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2001, задача 2, 11-12 классы