17661. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, причём прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке. Известно, что точки A
, B_{1}
, A_{1}
, B
лежат на одной окружности и точки B
, C_{1}
, B_{1}
, C
лежат на одной окружности. Докажите, что:
а) точки C
, A_{1}
, C_{1}
, A
лежат на одной окружности;
б) AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
.
Решение. а) Пусть прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке P
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
PA\cdot PA_{1}=PB\cdot PB_{1}~\mbox{и}~PC\cdot PC_{1}=PB\cdot PB_{1},
откуда PA\cdot PA_{1}=PC\cdot PC_{1}
. Следовательно (см. задачу 114), точки C
, A_{1}
, C_{1}
, A
лежат на одной окружности.
б) Теперь известно, что AB_{1}A_{1}B
, BC_{1}B_{1}C
и CA_{1}C_{1}A
— вписанные четырёхугольники, а так как \angle CB_{1}B=\angle CC_{1}B
, то \angle AB_{1}B=\angle AC_{1}C
. Значит,
\angle AA_{1}B=\angle AB_{1}B=\angle AC_{1}C=\angle AA_{1}C~\Rightarrow~\angle AA_{1}B=90^{\circ}.
Аналогично,
\angle BB_{1}C=90^{\circ}~\mbox{и}~\angle CC_{1}A=90^{\circ},
т. е. AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2003, финальный этап, задача 3, 11 класс